Contoh Soal Turunan Aljabar dan Trigonometri

Posted on

Contoh Soal Turunan – Setelah sebelumnya ContohSoal.co.id telah memaparkan pembahasan materi tentang Prisma. Maka dipertemuan kali ini ContohSoal.co.id akan membahas materi tentang contoh soal turunan, rumus turunan, aljabar dan trigonometri. Untuk Lebih lengkapnya simak ulasannya dibawah ini.

Pengertian Turunan

Contoh Soal Turunan

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus ialah merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah pada kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi.

Turunan dan integral ialah merupakan 2 fungsi yang sangat penting dalam kalkulus.

Rumus Turunan

Rumus
  • ( In x)’ = 1/x
  • ( sin x)’  = cos x
  • ( cos x)’ = sin x
  • ( tan x) = sec² x
  • y’  = simbol untuk turunan pertama.
  • y” = simbol untuk turunan kedua.
  • y”’= simbol untuk turunan ketiga.
  • Simbol yang lainnya ialah dx/dy dan.d²y/(dx)²

Rumus Turunan Trigonometri

Dibawah ini terdapat beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahuii:

Rumus
  • f(x)=sinx→ f ‘(x)=cosx
  • f(x)=cosx→f(x)=−sinx
  • f(x)=tan x→ f ‘(x)=sec2x
  • f(x)=cotx→ f ‘(x)=−csc2x
  • f(x)=secx→ f ‘(x)=sec x.tan x
  • f(x)=cscx→f ‘(x)=−csc x.cotx

Rumus Turunan Aljabar

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hdengan syarat limitnya ada.

Notasi
  • y’ = f ‘(x)  ⇒  Lagrange
  • dydx=df(x)dx  ⇒  Leibniz
  • Dxy = Dx[f(x)]  ⇒  Euler

Dari definisi diatas dapat diturunkan rumus turunannya sebagai berikut :

Rumus
  • f(x)=k⇒f ‘(x)
  • =0f(x)=kx⇒f(x)
  • =kf(x)=xn ⇒ f ‘(x)
  • = nxn-1f(x)=ku(x)⇒f ‘(x)
  • = k.u'(x)f(x)=u(x) ± v(x)⇒ f ‘(x)= u'(x)± v'(x)
  • dengan k = konstan

Perhatikan contoh-contoh berikut :

  • f(x) = 5  ⇒  f ‘(x) = 0
  • f(x) = 2x  ⇒  f ‘(x) = 2
  • f(x) = x2 ⇒  f ‘(x) = 2×2-1 = 2x
  • y = 2×4  ⇒  y’ = 2. 4×4-1 = 8×3
  • y = 2×4 + x2 − 2x  ⇒  y’ = 8×3 + 2x − 2

Nah agar sobat semua dapat dengan mudah memahami rumus-rumus diatas maka simak contoh soal dibawah ini.

Contoh Soal Turunan 

Contoh Soal 1

Tentukan nilai Gradien pada Garis Singgung dari Kurva sebesar y = x² + 3x pada titik (1, -4) ??

Baca Juga :  Volume Balok

Jawabannya :

y = x² + 3x maka y = 2x + 3

m = y (1) = 2 x 1 + 3

= 5

Contoh Soal.2

Jika y = x² Sin2x, maka dy/dx = ?

Jawabannya :

y = x² Sin2x

Misalkan :

  • u (x)=x²makau’(x)=2x
  • v (x)=Sin2xmakav'(x) = 2Cos2x
  • y =u (x). v(x)
  • y’ (x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
  • = 2x (Sin2x) + x² (2Cos2x)
  • = 2xSin2x + 2x²Cos2x.

Contoh Soal Turunan Trigonometri

Tentukanlah turunan dari f'(x) dari fungsi trigonometri berikut ini :
a. f(x) = 4 sin x
b. f(x) = 3 cos x
c. f(x) = -2 cos x
d. f(x) = 2 sec x
e. f(x) = 2 csc x

Pembahasan

a. f(x) = 4 sin x → f'(x) = 4 cos x
b. f(x) = 3 cos x → f'(x) = -3 sin x
c. f(x) = -2 cos x → f'(x) = -2 (-sin x) → f'(x) = 2 sin x
d. f(x) = 2 sec x → f'(x) = 2 sec x . tan x
e. f(x) = 2 csc x → f'(x) = 2 (-csc x . cos x) → f'(x) = -2 csc x . cot x

ContohSoal .2

Tentukanlah turunan pada f'(x) dari fungsi trigonometri Sebagai berikut:
a. f(x) = sin 6x + cos 6x
b. f(x) = 3x4 + sin 2x + cos 3x
c. f(x) = tan 5x + sec 2x

Pembahasan

a. f(x) = sin 6x + cos 6x → f'(x) = 6 cos 6x – 6 sin 6x
b. f(x) = 3x4 + sin 2x + cos 3x → f'(x) = 12x3 + 2 cos 2x – 3 sin 3x
c. f(x) = tan 5x + sec 2x → f'(x) = 5 sec2 5x + sec 2x . tan 2x

 

ContohSoal .3

Carilah turunan f'(x) dari fungsi trigonometri dibawah ini :a. f(x) = sin 3x
b. f(x) = sin x2
c. f(x) = sin 3x2
d. f(x) = sin (2x + 1)

Pembahasan

a. f(x) = sin 3x
Misalkan:
  • u = 3x ⇒ u’ = 3
  • f(x) = sin 3x
  • f'(x) = cos u . u’
  • f'(x) = cos 3x . 3
  • f'(x) = 3 cos 3x

b. f(x) = sin x2
Misalkan:

  • u =x2 ⇒ u’ = 2x
  • f(x) = sin x2
  • f'(x) = cos u . u’
  • f'(x) = cos x2 . 2x

f'(x) = 2x cos x2
c. f(x) = sin 3x2

Misalkan:

  • u = 3x2 ⇒ u’ = 6x
  • f(x) = sin 3x2
  • f'(x) = cos u . u’
  • f'(x) = cos 3x2 . 6x

f'(x) = 6x cos 3x2
d. f(x) = sin (2x + 1)

Misalkan:

  • u=2x+1⇒u’=2
  • f(x) = sin (2x + 1)
  • f'(x) = cos u . u’
  • f'(x) = cos (2x + 1) . 2
  • f'(x) = 2 cos (2x + 1)
Baca Juga :  1 Liter Berapa Kg - Pengertian, Konversi, Rumus dan Contoh Soal

Contoh Soal Turunan Aljabar

Carilah turunan dari fungsi aljabar dibawah ini :
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
Misalkan

  • u = x2 – 4x maka u’ = 2x
  • v = 2x + 3 maka v’ = 2

maka

  • f ‘(x) = u’.v + u.v’
  • f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
  • f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2×2 – 8x
  • f ‘(x) = 4×2 – 2x

(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Misalkan

  • u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3
  • v = 4x – 2 maka v’ = 4

maka

  • f ‘(x) = u’.v + u.v’
  • f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
  • f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
  • f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Contoh Soal.2

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x2 + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)Pembahasan
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:a) f(x) = 5(2x2 + 4x)

  • f(x) = 10x2 + 20x
  • f ‘ (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi

  • f(x)=10x2+8x+15x+12
  • f (x)=10x2+13x+12

Sehingga
f ‘(x)=20x+13

 

Demikianlah materi pembahasan kali ini, semoga artikel ini dapat bermanfaat untuk sobat semua.

Artikel Lainnya: