Induksi Matematika

Posted on

Contoh soal induksi matematika – Halo sahabat ContohSoal.co.id. Kita bertemu lagi dengan pelajaran matematika, yang sebelumnya kita telah membahas mengenai Contoh Soal Fungsi. Nah, pada pelajaran matematika kali ini kita akan membahas tentang contohs soal induksi matematika dan pembahasannya dilengkapi juga dengan pengertian dan langkah – langkah dalam menyelesaikan soal induksi matematika. Mari bersama kita simak penjelasan lengkapnya berikut ini.

induksi-matematika

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah sebuah materi pelajaran yang jadi perluasan dari materi logika matematika. Logika matematika mempelajari tentang pernyataan yang di dalamnya bisa terjadi bernilai benar atau salah, ekivalen maupun ingkaran dalam sebuah pernyataan, serta berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika ini menjadi salah satu langkah untuk pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Adapun pada suatu proses maupun aktivitas berpikir dalam menarik kesimpulan berdasarkan atas kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus tertentu juga bisa bernilai benar.

Dalam materi induksi matematika, variabel pada suatu rumusan dibuktikan sebagai anggota pada himpunan bilangan yang asli.

Prinsip Induksi Matematika

Khusus teruntuk pada setiap bilangan bulat yang positif n, contohnya P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika P(1) bernilai benar, dan untuk setiap semua bilangan bulat positif k, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar, maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Jika ingin menerapkan prinsip ini, terdapat dua langkah:

  1. Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah pertama)
  2. Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Yang harus diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. Anggapan pernyataan P(k) benar disebut hipotesis induksi.

Dalam menerapkan Prinsip Induksi Matematika ini, kita harus dapat melakukan pernyataan P(k + 1) pada suatu pernyataan P(k) yang akan diberikan. Untuk menyatakan bahwa P(k + 1) substitusi kuantitas k + 1 pada k dalam sebuah pernyataan P(k).

Langkah – Langkah Induksi Matematika

Terdapat 3 langkah induksi matematika yang dibutuhkan untuk membuktikan suatu rumus ataupun pernyataan. Sebagai berikut:

  1. pembuktian pada pernyataan itu benar untuk n = 1 atau p(n) = 1 adalah benar -> (basis).
  2. pembuktian pada pernyataan tersebut benar untuk n = k atau contohnya, kita asumsikan p(n) adalah benar -> (induktif).
  3. Membuktikan pada pernyataan itu benar untuk n = k + 1 atau p (n +1), juga harus benar.
Baca Juga :  Contoh Soal Fungsi Invers dan Pembahasannya

Contoh Soal Induksi Matematika

Contoh Soal ke 1
Buktikan Jika :
induksi-matematika-1

 

Langkah Pertama

induksi-matematika-2

 

 

 

Jadi, 1 = 1 ( terbukti )

Langkah Kedua ( n = k )
induksi-matematika-3

 

 

Langkah Ketiga (n=k+1)
\

Efek Domino

Coba kita lihat langkah di atas tersebut satu per satu . Dimulai dari langkah pertama.

Langkah Pertama :
Buktikan Sn adalah bernilai benar untuk n=1.
Langkah pertama ini sangat mudah. Kita hanya memasukan nilai n=1 pada persamaan, kemudian hitung deretnya, dan selesai. Kesimpulannya yaitu,  S1 adalah bernilai benar (Sn bernilai benar untuk n=1).

Langkah Kedua:
Buktikan bahwa bernilai benar untuk n=k, apabalia dia berniai benar juga untuk n=k+1.
Oleh karenyanya pada langkah pertama sudah dibuktikan bahwa Sn adalah bernilai benar untuk n=1, maka dia benar juga untuk n=2. Apabila Sn benar untuk n=2, maka Sn bernilai benar juga untuk n=3. Jadi seandainya Sn benar untuk n=3, maka Sn bernilai benar juga untuk n=4. Dan begitupun seterusnya sampai tak terhingga batasnya.

Apabila pada penjelasan di atas masih belum begitu paham, kita coba dengan perlahan. Jadi, kita bayangkan bawha pembuktian yang dilakukan di setiap langkah pertama dan kedua tadi adlah kita nyatakan dalam dua premis, premis pertama untuk pernyataan pada langkah kedua dan premis kedua untuk pernyataan pada langkah pertama. Kesimpulannya di bawah ini:

  • Premis 1: Apabila Sn benar untuk n=k, maka Sn bernilai benar juga untuk n=k+1
  • Premis 2: Sn bernilai benar untuk n=1

Kesimpulan

Apabila kita memiliki dua premis seperti di atas,jadi kesimpulan yang bisa diambil apa ? Dikarenakan pada nilai k=1, maka k+1 itu adalah 2.

Jadi, kesimpulannya yaitu Sn bernilai benar juga untuk n=2. Lalu kita lanjutkan lagi dengan kesimpulan dan kita masukkan ke dalam premis kedua.

  • Premis 1: Apabila Sn benar untuk n=k, maka Sn bernilai benar juga untuk n=k+1
  • Premis 2: Sn bernilai benar untuk n=2.

Jadi, kesimpulan sangat mudah, ternyata Sn bernilai benar untuk n=3. Dan Ini juga masih bisa di lanjutkan lagi dengan metode yang sama. Kesimpulan ini di jadikan premis kedua.

Baca Juga :  1 Liter Berapa m3
  • Premis 1: Apabila Sn bernilai benar untuk n=k, Jadi Sn benar juga untuk n=k+1
    Premis 2: Sn bernilai benar untuk n=3.

Maka kesimpulan dari kedua premis di atas adalah :

Sn benar untuk n=4. Dapat kita lanjutkan proses ini sampai tak terhingga. Namun, pada suatu titik tertenut harus berhenti melakukan ini dan mulai dari awal lagi.

Sehingga didapat, jika proses ini akan di lanjutkan, mendapatkan kesimpulannya bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.

Inilah yang menjadi sebab Induksi Matematika sering juga disebut sebagai efek domino. Seperti halnya efek domino,  meskipun hanya menjatuhkan domino yang pertama, maka akibatnya seluruh domino tersebut bisa jatuh juga secara bergantian.

Contoh Soal ke 2
Perhatikan tabel di bawah ini :

Angka Bilangan Genap ke – n

Hasil Jumlah Bilangan GenapJumlah

Perkiraan

1221 x 2
22+462 x 3
32+4+6123 x 4
42+4+6+8204 x 5
…..…..…..…..
n2+4+6+8+ …….+2n…..n(n+1)

Maka didapat :
2 +4 + 6 + 8 + …… +2n =n(n +1)
Sehingga Induksi Matematika yang didapat :
Bilangan 1

P (1) = n(n+1)
= 1(1+1)
= 1 * 2
= 2 => Bernilai Benar

Bilangan 2
P (n)= n(n+1)
Contohnya, n= 3
P (3)= 3(3+1)
= 3 * 4
= 12 => Bernilai Benar

Bilangan 3
P(n + 1)
2+4 +6 +8 + ..… + 2n =n(n + 1)
Jadi :
2 +4 + 6 +8 + ,.… + 2n+ 2n= (n + 1)((n + 1) + 1)=(n + 1) (n +2)
Maka (kita perguanakan sifat bilangan) =
2 +4 +6 +8 + ….… +2n + 2n =(2 + 4 + 6 + 8 + …… +2n)+ 2n
=n(n + 1)+ 2(n+ 1)
=)n +1) (n +2)

Terbukti, yaitu antara ruas kanan dan ruas kiri nilainya sama.

Demikianlah materi Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasannya Lengkap kali ini, semoga pelajaran matematika kali ini dapat bermanfaat serta dapat menambah ilmu pengetahuan kita semua.

Artikel ContohSoal.co.id Lainnya :