Contoh Soal Logaritma dan Persamaannya

Posted on

Persamaan Logaritma – Setelah sebelumnya ContohSoal.co.id telah membahas materi tentang Pecahan Desimal. Maka dipertemuan kali ini ContohSoal.co.id akan membahas materi tentang persamaan logaritma beserta pengertian, sifat, rumus dan contoh soalnya. Untuk lebih lengkapnya simak ulasan dibawah ini.

Pengertian Logaritma

Persamaan Logaritma

Logaritma ialah merupakan sebuah kebalikan dari suatu perpangkatan. Apabila pada sebuah perpangkatan ac=b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

alog b = c

dengan syarat a > 0 dan a \ne 1

Logaritma

Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma.

Apabila pada nilai a sama dengan 10, maka 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b=c. Kemudian jika dari nilai pada bilangan pokoknya e (bilangan eurel) dengan e=2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi:

ln b = c

Berikut ini sejumlah contoh logaritma:

PerpangkatanContoh Logaritma
21 = 22log 2 = 1
2 = 12log 1 = 0
23 = 82log 8 = 3
2-3 = 82log  = – 3
9³/4 =3√39log 3 \sqrt{3} = \frac{3}{4}
103 = 1000log 1000 = 3

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan yang memuat bentuk logaritma, baik variabel xxsebagai tanda logaritma maupun variabel xx sebagai bilangan pokok atau bilangan basis suatu logaritma.

Jika suatu persamaan memuat bentuk logaritma maka ada beberapa sifat yang berlaku pada persamaan logaritma.

  • Jika logaf(x)=logaploga⁡f(x)=loga⁡p, maka f(x)=pf(x)=p asalkan f(x)>f(x)>0
  • Jika logaf(x)=logbf(x)loga⁡f(x)=logb⁡f(x), dengan aba≠b maka f(x)=1f(x)=1
  • Jika logaf(x)=logag(x)loga⁡f(x)=loga⁡g(x), maka f(x)=g(x)f(x)=g(x) asalkan f(x)>f(x)>0 dan g(x)>g(x)>0
  • Jika logh(x)f(x)=logh(x)g(x)logh(x)⁡f(x)=logh(x)⁡g(x), maka f(x)=g(x)f(x)=g(x) asalkan f(x)>,g(x)>f(x)>0,g(x)>0 serta h(x)>h(x)>0 dan h(x)1h(x)≠1
  • Jika logf(x)h(x)=logg(x)h(x)logf(x)⁡h(x)=logg(x)⁡h(x), maka beberapa kemungkinan adalah
      1. f(x)=g(x)f(x)=g(x) dengan syarat h(x)=1,f(x)>,f(x)1,g(x)>,g(x)1h(x)=1,f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0,g(x)≠1
      2. f(x)=g(x)f(x)=g(x) dengan syarat h(x)1,h(x)>

Sifat-sifat Logaritma

  • Sifat Logaritma dari Perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

Baca Juga :  Bilangan Prima 1 - 100 dan Contoh Soal Bilangan Prima

Sifat

alog p.q = alog p + alog q

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., p > 0, q > 0.

  • Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Maka hasil daril perkalian itu merupakan logaritma baru dengan nilai pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerusnya juga logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

Sifat

alog b x blog c = alog c

dengan syarat a > 0, .α ≠ 1

  • Sifat Logaritma dari pembagian

Pad sebuah logaritma ialah merupakan hasil pejumlahan pada pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

Sifat

alog  p/q= alog p – alog q

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., p > 0, q > 0.

  • Sifat Logaritma Berbanding Terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

Sifat

alog b = 1/ p/bloga

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ..

  • Logaritma Berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

Sifat

alog  p/q = – alog q/ p

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., p > 0, q > 0.

  • Sifat Logaritma Dari Perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

Sifat

alog bp = p. alog b

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., b > 0

  • Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

Sifat

alogbp = ¹/p. logb

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ..

  • Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Perpangkatan Numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:

Sifatalog ap = p

dengan syarat a > 0 danα ≠ 1 .

  • Perpangkatan logaritma

Yakni merupakan sebuah bilangan yang mempunyai pangkat yang berbentuk logaritma, maka hasil pangkatnya ialah merupakan nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:

Baca Juga :  Contoh Soal Jangka Sorong
Sifatαªlogm = m

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., m > 0.

  • Mengubah Basis Logaritma

ialh yang mana pada sebuah logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

Sifatplogq =αlogp/αlogq

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 ialah… ?Pembahasan 1

  • 3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½
  • 3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)
  • 3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72½
  • 3log 245 ½ = \frac{1}{2} ( 3log 5 + 3log 7)
  • 3log 245 ½ = \frac{1}{2} (x + y)

Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 ialah \frac{1}{2} (x + y).

Contoh Soal 2

Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a ialah…?Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

  • alog b – blog a = alog a4  – ^{a^4} log a
  • alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac{1}{4}alog a)
  • alog b – blog a = 4 – \frac{1}{4}
  • alog b – blog a = 3 \frac{3}{4}

Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac{3}{4}.

Contoh Soal 3

Jika alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2, maka tentukanlah nilai a.

Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya ialah a menjadi alog a2= 2, maka didapat :

  • alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2
  • alog (1- 3log \frac{1}{27}) = alog a2

Sebuah hilai numerus kedua yang bisa menjadi sebuah persamaan:

1- 3log \frac{1}{27} = a2

  • 3log 3 – 3log \frac{1}{27} = a2
  • 3log 3 – 3log 3(-3) = a2
  • 3log \frac{3}{3^{(-3)}} = a2
  • 3log 34 = a2

4 = a2

Sehingga diperoleh nilai a = 2

 

 

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai Persamaan logaritma, semoga artikel ini bermanfaat bagi sobat semua.