Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Posted on

Contoh Soal Persamaan Garis Lurus – Sebelumnya kita telah membahas pelajaran matematika mengeiai Contoh Soal Fungsi dan Pembahasannya. Naha, berikut ini penjelasan mengenai contoh soal matematika SMP yaitu mengenai tentang pelajaran persamaan garis lurus. Pada materi kali ini ContohSoal.co.id akan membahas tentang contoh soal persamaan garis lurus, rumus, gradien dan pembahasannya lengkap. Mari kita simak pembahasan lengkapnya berikut ini.

Contoh soal ini disusun dalam bentuk essay dan dilengkapi dengan pembahasan sekaligus dirancang sedemikian rupa berdasarkan pokok pembahasan yang paling sering keluar pada materi pelajaran persamaan garis lurus untuk tingkat SMP misalnya, mencari gradien melalui titik, lalu menentukan gradien dengan grafik, menentukan gradien dengan persamaan garis, menyusun persamaan garis lurus dengan melalui satu atau dua titik, menentukan relasi persamaan garis dan gradien, dan sifat-sifat persamaan garis lainnya.

Persamaan garis lurus juga bisa dikatakan sama dengan persamaan linier yakni ada yang teriri dari satu variabel dan dua variabel.

persamaan-garis-lurus

Pengertian Persamaan Garis Lurus

Sebelum kita mempelajari tentang contoh soal persamaan garis lurus , maka kita harus memahami pengertian dari persamaan garis lurus terlebih dahulu. Dalam sebuah persamaan garis lurus ada satu komponen yang tidak dapat dipisahkan yaitu Gradien. Simak penjelasan di bawah ini.

Pengertian dari persamaan garis lurus adalah persamaan yang apabila digambarkan pada sebuah bidang koordinat cartesius, maka akan membentuk suatu garis lurus. Sehingga yang dikatakan dengan garis lurus itu adalah suatu kumpulan titik – titik yang letaknya sejajar.

Pengertian Gradien

Gradien merupakan perbandingan dari komponen x dan komponen y , atau juga yang sering disebut dengan kecondongan pada sebuah garis. Adapun simbolnya gradien = m.

Gradien persamaan melalui ax + by + c = 0

gradienGradien yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan melalui titik ( a , b )

m = b/a

Gradien melalui titik ( x1 , y 1 ) dan melalui titik ( x2 , y2 )

m = y1 – y2 / x1 – x2 atau juga m = y2 – y1 / x2 – x1

Gradien garis yang merupakan saling sejajar ( / / )

m = sama

dilambangkan m1 = m2

Gradien garis yang saling tegak lurus atau ( lawan dan kebalikan )

m = -1 atau

m1 x m2 = -1

Macam – macam Gradien

Gradien yang bernilai positif

jika pada m (+) misal : 6x – 2 y – 9 = 0

m = – (6/-2) = 3 (nilai positif)

Gradien bernilai negative

jika m (-) misal : 6x + 3y – 9 = 0

m = – (6/3) = -2 (nilai negative)

Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l yang melalui dari pangkal koordinat (0,0) sehingga : m = y/x

misal : Gradien dari garis yang melalui titik (0,0) dan titik  (2,-3) iyalah  : m = y/x = -3/2

Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

Yaitu sebuah garis lurus yang dapat diperoleh dari menguhubungkan dua titik sembaran contohnya titik P (x1 y1) dan titik Q (x2 Y2) . Maka Gradien dari  adalah garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1).

Misalnya : Gradien yang melalui titik (-4,5) dan titik (2,-3)

maka, m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

Rumus Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus dalam bentuk yang umum ( y = mx )

Yaitu sebuah persamaan yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien m.

Contohnya :

Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 3 !

Jawabnya : y = mx

y = 3 x

3. y = mx + c

Persamaan garis yang sejejar / / dengan y = mx dan bergradien m

Persamaan garis yang melalui titik ( 0 , c ) dan bergradien m ( 0 , c ) iyalah titik potong sumbu y .

Persamaan garis lurus yang melalui satu titik pusat ( x1 , y1 ) dan gradien m .

Jadi persamaan garis lurus adalah  : y – y1 = m ( x – x1 )

Persamaan Garis Lurus Yang Melaui Dua titik yaitu ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 ) .

Jadi persamaan garis lurus adalah : y – y1 / y2 – y1 = x – x1 / x2 – x1

Posisi Antara Dua Garis

Pada posisi antara dua garis dapat dibedakan menjadi 2 yaitu sejajar dan tegak lurus. Dua posisi ini juga mempunyai persamaan garis lurus yang saling berhubungan antara satu dan lainnya. Maka, apabila ada 1 persamaan garis lurus yang diketahui, maka persamaan garis lurus yang saling sejajar atau tegak lurus dengan garis tersebut akan juga dapat diketahui.

Baca Juga :  Contoh Soal Matematika Kelas 5 SD

Kemudian persamaan garis lurus tersebut juga nemiliki syarat hubungan gradien. Adapun syarat gradien dan gambar posisi antara 2 garis lurus akan diberikan pada penjelasan di bawah ini.

Perhatikan :

Garis Yang Saling Sejajar

Garis sejajar merupakan 2 garis yang tidak pernah akan memiliki titik potong. Dan 2 buah garis yang saling sejajar ini mempunyai gradien yang sama.

Diketahui gradien garis g = mg

gradien garis h = mh

maka, hubungan antara gradien 2 persamaan garis di atas dinyatakan dalam persamaan : mg = mh

Garis Yang Saling Tegak Lurus

Gradien dari dua buah garis yang saling tegak lurus juga mempunyai hubungan. Adapun hubungan dari 2 buat garis tersebut dinyatakan bahwa gradien garis kedua adalah lawan dari kebalikan gradien garis yang pertama. Bisa juga dikatakan dinyatakan bahwa hasil dari perkalian 2 buah gradien tersebut adalah sama dengan -1.

Contohnya gradien garis yang pertama mempunyai nilai m1 = 2 maka, nilai dari gradien garis ke dua nya adlah m2 = -1/2. Supaya lebih jelas simak pembahasannya berikut ini :

Diketahui gradien garis g = mg

gradien garis h = mh

maka, hubungan antara kedua gradien persamaan garis tersebut di nyatakan dalam persamaan : mg x mh = -1

Contoh Soal Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Contoh Soal 1 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukanlah gradien dari garis yang melalui titik ( 0 , 0 ) dan  titik A ( -25 , 20 ) :

Penyelesaian :

Diketahui :
Titik ( 0 , 0 ) dan
Titik A ( -25 , 20 );

Pertanyaannya : m =…..

Penyelesiannya : m = b / a = 20 / -25 = -4/5

Contoh Soal 2 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukanlah gradien garis yang melalui titik A ( -4 , 7 ) dan titik B ( 2 , -2 ) :

Pembahasannya :

Diketahui :
Titik A ( -4 , 7 ) dan
Titik dari B ( 2 , -2 );

Pertanyannya : m =…..

Pembahasan :
m= y1 -y2 / x1 -x2
m = 7 -( -2) / -4 -2
m = 9 / -6
m = -3/2

Contoh Soal 3 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukankah Gradien garis dengan persamaan garis 4x + 5y -6 = 0 :

Pembahasannya :

Diketahui :
Persamaan 4x + 5y -6 = 0

Pertanyaannya  : m =……

Pembahasan :
m = -a / b
m = -4 / 5

Contoh Soal 4 Persamaan Garis Lurus dan Gradien 

Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui titik pusat koordinat dan gradien-4/5 :

Pembahasannya :

Diketahui :
Titik pusat melalui titiki koordinat ( 0 , 0 ) dan
m = -4/5;

Pertanyaannya  : Persamaan garis lurus =…..

Pembahasan :
y = mx
y = -4 / 5 x
-4y = 5x
-4y -5y = 0
<-> 4y + 5y = 0

Contoh Soal 5 Persamaan Garis Lurus dan Gradien 

Tentukanlah Persamaan garis lurus yang melalui titik ( 0 , -2 ) dan m = 3/4 iyalah :

Pembahasannya :

Diketahui :
Titik garis ( 0 , -2 ) dan
m = 3 / 4;

Pertanyaannya  : Persamaan garis =…..

Pembahasan :

Cara ke-1
–>y = mx + c
–>maka, y = 3/4 x + (-2 ) x4
–>4y = 3x -8
–>-3x + 4y + 8 = 0

Cara ke-2
–>rumusnya y-y1=m (x-x1)
–>y-(-2 ) = 3/4 ( x-0 ) ->
–>y + 2 = 3/4 x x4
–>4y + 8 = 3x
–>-3y + 4y + 8

Contoh Soal 6 Persamaan Garis Lurus dan Gradien 

Persamaan garis G yang melalui titik garis ( 0 , 4 ) dan sejajar dengan garis H yang melalui titik pusat koordinat dan titik ( 3 ,2 ) adalah :

Baca Juga :  Bilangan Prima 1 - 100 dan Contoh Soal Bilangan Prima

Pembahasannya :

Diketahui :
Titik koordinat ( 0 , 0 ) dan

titik ( 3 , 2 )

Pertanyaannya  : Persamaan garis G =…..

Pembahasan :

1.Tentukan gradiennya dahulu , yaitu :
–>rumusnya : m = y2 -y1 / x2-x1
–>maka, m = 2-0 / 3-0 ;
–>m = 2/ 3

2.Karena Garis G // H , maka gradiennya iyalah 2/3 dan melalui titik ( 0 , 4 ) , maka persamaan garisnya :
–>y = mx + c
–>maka, y = 2/3 x + 4 x3
–>< = >3y = 2x + 12
–>3y -2x -12 = 0
–>2x-3y + 12 = 0

Contoh Soal 7 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukanlah persamaan garis Z yang melalui titik ( 4 , 5 ) dan titik ( -5 , 3 ) :

Pembahasannya :

Diketahui :
Titik A ( 4 , 5 ) dan
Titik B ( -5 , 3 );

Pertanyaannya  : Persamaan garis Z = …..

Pembahasan :

Cara ke-1
1.Mencari gradien dahulu :
–>m = y1 -y2 / x1 -x2
–>maka, m = 5-3 / 4 -( -5 );
–>m = 2 / 9

Lalu persamaan garis melalui titik ( 4 , 5 ) dan bergradien 2 / 9
–> rumusnya adalah y-y1=m( x-x1 ) :
–>maka, y – 5 = 2/9 ( x-4 )
–>lalu, y – 5 = 2/9x – 8/9
–>y = 2/9 x – 8 / 9 + 5
–>y = 2/9 x – 8/9 + 45/9;
–>y = 2/9x – 37/9

Cara ke-2
Menggunakan tanpa mencari gradien :

Dengan Persamaan Garis Lurus

–>y -5 / 3 – 5 = x -4 / -5 -4
–>y – 5 / -2 = x -4 / -9
–>maka, -9 ( y – 5 ) = -2 ( x – 4 )
–>-9y + 45 = -2x + 8
–>-9y + 2x +45 -8 = 0
–>2x -9y + 37 : 9
–>maka 2/9 x -y + 37 / 9
–>maka  y = 2/9x + 37 / 9

Contoh Soal 8 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukanlah persamaan dari garis lurus yang melalui titik potong persaamaan 3x + 2y -12 dan 5x + 2y = 16 dan sejajar garis 2x + y = 4 :
Pembahasan :

–>3x + 2y = 12
–>5x + 2y = 16

–>-2x = -4

–>x = -4 / -2 = 2

–>3x + 2y = 12
–>3 x 2 + 2y = 12

–>6 + 2y = 12

–>2y = 6

–>y = 6 / 2 = 3

Adapun titik potongnya adalah ( 2, 3 ) // 2x + y = 4

–>m1 = -a/b = -2/1 = -2

–>m1=m2 = -2;

–>y -y1 = m2(x – x1);

–>maka, y- 3= -2(x – 2);

–>maka, y-3 = -2x + 4

–>2x + y -3 + 4 = 0

–>2x + y + 1 = 0

Contoh Soal 9 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukan persamaan garis lurus melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

Pembahasan :

Titik A(-3,4) : x­1 = -3 , y1 = 4 dan

bergradien -2, : m = -2

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1) iyalah :

–>Rumusnya y-y1=m (x-x1)
–>y – 4 = -2 (x – (-3))
–>maka y – 4 = -2 (x + 3)
–>y – 4 = -2 x – 6
–>y = -2x – 6 + 4
–>y = -2x – 2

Contoh Soal 9 Persamaan Garis Lurus dan Gradien

Tentukan persamaan garis lurus melalui titik B(6,2) dan sejajar yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)

Pembahasannya :

Adapun garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3) adalah :

P(2,-5) –> x1 = 2 , y1 = -5
Q(-6,3) –> x2 = -6 , y2 = 3
dan gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) iyalah :

m (PQ) contoh mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 menghasilkan m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), –> x­1 = 6 , y1 = 2

Maka persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) :

–>rumusnya y-y1=m (x-x1)
–>y – 2 = -1 (x -6)
–>y – 2 = -x + 6
–>y = -x + 6 + 2
–>y = -x + 8.

Demikianlah materi Contoh Soal Persamaan Garis Lurus, Rumus, Gradien dan Pembahasannya Lengkap kali ini, semoga pelajaran ini dapat bermanfaat serta dapat menambah ilmu pengetahuan bai kita semua. Inti dari persamaan garis lurus adalah memahami apa itu gradien dan memahami tentang antara titik yang dilalui baik apakah itu titik pusat koordinat , titik koordinat y atau juga titik koordinat x. Dan jika dilambangkan maka titik pusat koordinat ( 0 , 0 ) , titik koordinat ( x1 , y1 ) dan yang terakhir ( x2 , y 2 ).

Lihat juga artikel contohsoal.co.id lainnya :