Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya

Posted on

Contoh Soal Persamaan Kuadrat – Setelah sebelumnya kita membahas tentang Contoh Soal Fungsi Invers. Materi kali ini bersama kita akan membahas materi mengenai rumus persamaan kuadrat akan kita jabarkan secara detail dan lengkap dari pengertian kuadrat dan penyelesaiannya, pengertian persamaan kuadrat, macam-macam akar persamaan kuadrat dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat beserta contoh soalnya. Baiklah berkut ini penjelasannya.

Pengertian Kuadrat

contoh Soal Persamaan kuadrat
contoh Soal Persamaan kuadrat

Pada ilmu  matematika, Kuadrat ialahmerupakan suatu akar dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan akan mendapatkan hasil dari perkalian dari bilangan itu sendiri) sama dengan x.

Pengertian Persamaan Kuadrat

 

Persamaan ialah  merupakan suatu kudrat yang terdapat dari variabel dan mempunyai tingkatan tertinggi yakni dua. Adapun bentuk umumnya ialah : Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta a ≠ 0. Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Macam – Macam Akar Persamaan Kuadrat

Agar dapat menentukan akar persamaan kuadrat, dapat kita gunakan rumus D = b2 – 4ac. apabila telah terbentuk nilai D tentunya akan lebih mudah untuk menemukan akar – akarnya. Simak berikut terdapat beberapa jenis persamaan kuadrat secara umum :

Pada Akar Real ( D ≥ 0 ) :

Contoh :

Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

  • x2 + 4x + 2 = 0 !

Penyelesaian :
Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

  • a = 1
  • b = 4
  • c = 2

Jawab :

  • D = b2 – 4ac
  • D = 42 – 4(1)(2)
  • D = 16 – 8
  • D = 8 ( D>8, Jadi kesimpulan akarnya pun sama merupakan akar real tapi berbeda )

»Pada Akar real sama x1 = x2 bila D = 0

Contoh :
Buktikan apabila pada persamaan ini mempunyai akar real kembar :

  • 2×2 + 4x + 2 = 0

Penyelesaian :
Dari = 2×2 + 4x + 2 = 0

Diketahui :

  • a = 2
  • b = 4
  • c = 2

Jawab :

  • D = b2 – 4ac
  • D = 42 – 4(2)(2)
  • D = 16 – 16
  • D = 0 ( D=0, Maka terbukti bahwa akar real kembar )

Akar Imajiner atau Tidak Real ( D < 0 )

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

  • x2 + 2x + 4 = 0 !
Baca Juga :  Bilangan Komposit Beserta Lambang dan Contohnya

Penyelesaian :
Dalam persamaan pada = x2 + 2x + 4 = 0

Diketahui :

  • a = 1
  • b = 2
  • c = 4

Jawab :

  • D = b2 – 4ac
  • D = 22 – 4(1)(4)
  • D = 4 – 16
  • D = -12 ( D<0, maka akar-akarnya adalah tidak real )

Akar Rasional ( D = k)

Contoh :
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut ini :

  •  x2 + 4x + 3 = 0

Penyelesaian :

Dalam hasil Persamaan pada =  x2 + 4x + 3 = 0

Diketahui :

  • a = 1
  • b = 4
  • c = 3

Jawab :

  • D = b2 – 4ac
  • D = 42 – 4(1)(3)
  • D = 16 – 12
  • D = 4 = 2= k2   ( Dari D=k2=4 Jadi kesimpulan akar persamaannya ialah rasional )

Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Berikut merupakan jenis dari Persamaan Kuadrat :

Dalam penentuannya yang mana persamaan kuadrat sangat ditentukan dari hasil nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, yaitu :

  • Jika D > 0, Jadi kesimpulannya bahwa persamaan ini mempunyai dua akar real yang berlainan.
  • Apabila D merupakan kuadrat sempurna, jadi keduanya ialah akarnya rasional.
  • Apabila D Bukan merupakan kuadrat sempurna , jadi dapat disimpulkan bahwa keduanya ialah akar irasional.
  • Apabila D = 0, Jadi dapat disimpulkan persamaan tersebut mempunyai dua akar yang akar kembar, real, dan rasional.
  • Apabila D < O, Jadi kesimpulannya bahwa kuadrat tidak mempunyai akar real  (imajiner).
  • Bentuk perluasan untuk akar – akar real :

Kedua Akar Positif

  • D ≥ 0

x+ x> 0

xx> 0

Kedua Akar Negatif

  • D ≥ 0

x+ x< 0

xx> 0

Kedua Akar Berlainan Tanda

  • D > 0

xx< 0

Kedua Akar Bertanda Sama

  • D ≥ 0

xx> 0

Kedua Akar Saling Berlawanan

  • D > 0

x+ x= 0 (b = 0)

xx< 0

Kedua Akar Saling Berkebalikan

  • D > 0

x+ x= 1 (c = a)

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Contoh No1:

Tunjukan bahwa x1=4 dan x2=-4 merupakan akar-akar persamaan x²-16=0 !

Pembahasan :

Nilai x1=4 kita substitusikan pada persamaan x²-16=0, maka

4²-16=16-16=0 (benar)

Nilai x2=-4 kita substitusikan pada persamaan x²-16=0, maka

(-4)²-16=16-16=0 (benar)

karena berdasarkan substitusi diatas menghasilkan kalimat benar, maka x1=4 dan x2=-4 merupakan akar-akar persamaan x²-16=0.

Contoh No2:

Selidikilah apakah x=3 merupakan akar atau penyelesaian dari persamaan 5x²-13x+6=0?

Pembahasan :

Nilai x=3 kita susbstitusikan pada persamaan 5x²-13x+6=0, maka

5(3)²-13(3)+6=5(9)-39+6=45-39+6=12 (salah)

Karena menghasilkan kalimat yang salah, maka x=3 bukan akar dari persamaan 5x²-13x+6=0.

ContohNo3 :

Salah satu akar persamaan y²-6y+2p=0 adalah y=-2. Tentukan nilai p!

Baca Juga :  Jaring-Jaring Balok

Pembahasan :

kita substitusikan y=-2 ke persamaan y²-6y+2p=0, maka

(-2)²-6(-2)+2p= 0

4   +   12   + 2p = 0

16   +  2p  = 0

2p  = -16

p = -8

Jadi, nilai p = -8

Contoh NO4:

Tentukan akar-akar dari persamaan berikut ini!

a. 2x(x-5) = 0

b. (3x-4)(x+2)=0

Pembahasan

a. 2x(x-5) = 0

⇔ 2x = 0

⇔ x = 0

atau

⇔ x-5 = 0

⇔     x = 5

Akarnya ialah x1 = 0 dan x2 = 5

b. (3x-4)(x+2)=0

⇔ 3x-4 = 0

⇔      3x = 4

⇔        x = 4/3

atau

⇔ x+2 = 0

⇔      x  = -2

akar-akarnya yaitu x1 = 4/3 dan x2 = -2

Contoh No5:

Tentukan akar-akar dari persamaan berikut ini!

a. 4x² =25

b. (x+5)² = 36

Pembahasan :

a.  4x²  = 25

⇔ (2x)²= ±√25

⇔    2x  = ± 5

⇔      x   = ± 2½

akar-akarnya x1 = 2½ dan x2 = -2½

b. (x+5)² = 36

⇔  x+5    = ±√36

⇔  x+5    = ± 6

⇔       x    = -5 ± 6

⇔ x1 = -5+6  dan x2 = -5-6

⇔ x1 = 1                 x2 = -11

akar-akarnya adalah x1 = 1 dan x2 = -11.

Contoh No6:

Tentukan penyelesaian persamaan-persamaan berikut dengan cara memfaktorkan!

a. 2x²+10x = 0

b. 4x²-9 = 0

c. x²-6x-40 = 0

Pembahasan :

a. 2x²+10x = 0

⇔ 2x(x+5) = 0

⇔ 2×1 = 0   dan   x2+5 = 0

⇔ x1 = 0                     x2 = -5

penyelesaiannya ialah x1 = 0 dan x2 = -5

b.      4x²  –    9    = 0

⇔ (2x+3)(2x-3) = 0

⇔ 2 x1 + 3 = 0  dan  2 x2 – 3 = 0

⇔        2 x1 = -3                2 x2 = 3

⇔           x1 = -3/4                x2 = 3/2

penyelesaiannya ialah x1 = -3/4 dan x2 = 3/2

c.  x² – 6x – 40 = 0

⇔ (x-10)(x+4) = 0

⇔ x1-10 = 0  dan  x2+4 = 0

⇔    x1   = 0               x2  = -4

penyelesaiannya ialah x1 = 0 dan x2 = -4

 

Demikianlah materi pembahasan mengenai soal persamaan kuadrat kali ini semoga artikel ini dapat bermanfaat serta dapat menambah ilmu pengetahuan kita semua.

Artikel ContohSoal.co.id Lainnya: