Contoh Soal Polinomial

Posted on

Conroh Soal Polinomial – Materi makalah pembahasan kali ini mengenai conth soal polinomial beserta pengertian, bentuk polinomial, nilai polinomial, cara subtitusi, skema horner, teorema sisa teorema faktor dan contoh soalnya, namun dipertemuan sebelumnya kami telah membahas mengenai Contoh Soal Limit Trigonometri. Baiklah langsung aja mari kita simak bersama ulasan dibawah ini.

Pengertian Polinomial

Polinomial atau disebut juga Suku banyak merupakan suatu bentuk suku suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Operasi yang digunkana hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tak negative.

Bentuk Umum Polinomial

Bentuk umum polinomial berderajat n dengan variable x ialah:

Bentuk Umuman xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a
Keterangandengan an , an-1 , …. , a1 , a€ R koefisien/konstanta
Polinom an ≠ 0 , dan n merupakan bilangan bulat positif.

Pangkat tertinggi dari x ialah derajat polinomial, sedangkan suku yang tidak memuat variable (a) dinamakna suku tetap (konstan).

Nilai Polinomial

Nilai polinomial f(x) untuk x=k atau f(k) bisa  ditentukan dengan substitusi atau dengan skema Horner

Cara subtitusi

Dengan mensubtitusikan x = k ke polinomial

f(x) = an kn + an-1 kn-1 + . . . + a1 k + a

Cara skema horner

Contoh ; (f(k) = x3 + bx2 + cx + d maka f(k) = ak3 + bk2 + ck + d
xa3 + bx2 + cx + d = (ak2 + bk + c)k+d
= ((ak + b)k + c)k+d

Pembagian polinomial

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :

Rumusf(x) = g(x) h(x) + s(x)
Keterangan
  • f(x) = suku banyak yang dibagi
  • g(x) = suku banyak pembagi
  • h(x) = suku banyak hasil bagi
  • s (x) = suku banyak sisa

 

Pembagian Polinomial Dengan Cara Horner

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x-k) dapat dilakukan dengan cara horner.

Teorema sisa dan teorema factor

Bagaimana cara menentukan akar persamaan dengan panmgkat lebih dari dua? Sekarang akan kita pelajari selengkapanya, yaitu dengan menggunakan teorema sisa dan teorema factor.

Teorema sisa

Jika polinom f(x) dibagi x – k maka sisanya ialah f(x).Sifat

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh ax + b ialah

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-a) (x-b) ialah

Teorema faktor

Polinom f(x) mempunyai factor (x-k) apabila dan hanya jika f(x) = 0; k disebut juga akar dari f(x).
Pada Persamaan polinomial mempunyai bentuk an xn + an-1 x n-1 + . . . + a dan (x-k) ialah factor dari f(x), maka nilai k yang mungkin adalah

Cara Horner Bangun Skema Sintentik

Jika kita ingin menentukan suatu nilai polinomial dari f(x)=ax2 + bx +c untuk x = k dengan cara horner, maka dapat disajikan dengan bentuk skema sebagai berikut:

contoh soal:
Hitunglah nilai polinomial untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
f(x) =x3 + 2×2 +3x -4 untuk x =5
Jadi nilai polinomia f(x) untuk x =5 adalah 186

Contoh Soal Polinomial

Contoh No.1
Polinomial f(x) ÷ (x – 2) sisanya 24 dan f(x) ÷ (x + 5) sisanya 10. maka f(x) tersebut dibagi sisanya ialah…
a.    x + 34
b.    x – 34
c.    x + 10
d.    2x + 20
e.    2x – 20
PEMBAHASAN:
Rumusnya adalah P(x) = H(x) . pembagi + (px + q)
Dari soal diketahui:
–    f(x) ÷ (x – 2) sisa 24, maka:
f(x) = H(x)(x – 2) + 24
Subtitusikan x = 2, maka:
f(2) = H(2)(2 – 2) + (2p + q)
= 2p + q = 24 …. (i)
–    f(x) ÷(x + 5) sisa 10, jadi:
f(x) = H(x)(x + 5) + 10
Dengan Subtitusikan x = -5, jadi:
(f(-5) = H(-5)(-5 + 5) + (-p + q)
= -5p + q = 10 …. (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):
2p +q =24
-5p +q =10
7p = 14
p =2
Dalam mensubtitusikan p = 2 pada 2p + q = 24
2(2) + q = 24
q = 24 – 4
q = 20
Jika f(x) dibagi  maka:
sisapx + q = 2x + 20
JAWABAN: D

 

Contoh No.2
Suku banyak dibagi oleh x² – x -2  sisanya sama dengan …
a.    16x + 8
b.    16x – 8
c.    -8x + 16
d.    -8x – 16
e.    -8x – 24
PEMBAHASAN:
Pembaginya adalah: x² – x -2, maka:
= 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 dan x = -1
Ingat rumus: P(x) = H(x)  + (px + q), maka sisanya (px + q), maka:
–    x = 2
f(2) = 2p + q
24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q
16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q
-32 = 2p + q … (i)
–    x = -1
f(-1) = -p + q
(-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q
1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q
-8 = -p + q …(ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):
-32 =2p +q
-8 =-p +q
-24 =3p
p = -8
Apabila disubtitusikan p = –p + q = -8
-(-8) + q = -8
q = -16
Maka , sisanya = p + q = -8x – 16
JAWABAN: D
Contoh No.3
Diketahui dan  adalah faktor dari g(x). Nilai a yang memenuhi adalah …
a.    -3
b.    -1
c.    1
d.    2
e.    5
PEMBAHASAN:

x2 + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x = -3 dan x = 2
Karena h(x) adalah faktor dari g(x), maka:
–    g(-3) = 0

2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) + 6 = 0
-54 + 9a – 3b + 6 = 0
9a – 3b = 48 … (i)
–    g(2) = 0

2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 6 = 0
16 + 4a + 2b + 6 = 0
4a + 2b = – 22
2a + b = – 11 … (ii)
Eliminasikan persamaan (i) dan (ii):
  • 9a -3b 48 | x1 | 9a -3b =48
  • 2a +b =-11 | x3 | 6a +3b =-33
  • 15a =15
  • a = 1
JAWABAN: C
Contoh No.4
Jika f(x) dibagi oleh  masing-masing mempunyai sisa 2x + 1 dan 5x + 2 maka f(x) dibagi oleh  mempunyai sisa…
a.    22x – 39
b.    12x + 19
c.    12x – 19
d.    -12x + 29
e.    -22x + 49
PEMBAHASAN:
Misalkan sisa pembagiannya S(x) = px+ q
f(x) dibagi oleh x² – 2x atau x(x -2) → x =2 sisanya 2x + 1, maka:
S(2) = 2x + 1
S(2) = 2(2) + 1
S(2) = 5
2p + q = 5 … (i)
f(x) dibagi oleh x2 – 3x atau x(x – 3) –> x = 3 sisanya 5x + 2, maka:
S(3) = 5x + 2
S(3) = 5(3) + 2
S(3) = 17
3p + q = 17 … (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):
2p + q =5
3p +q =17
-p = -12
p = 12
JAWABAN: C
Contoh No.5
Polinomial ÷ x + 1 sisa 1 dan jika ÷ (x – 2) sisanya 43. Nilai a + b = …
a.    -4
b.    -2
c.    0
d.    2
e.    4
PEMBAHASAN:
–    Dibagi (x + 1) sisanya 1
maka ketika x = -1, h(-1) = 1

–    Dibagi (x – 2) sisanya 43
maka ketika x = 2, h(2) = 43

16 + 20 + 2a + b = 43
2a + b = 43 – 36
2a + b = 7 …. (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):
2a +b =7
-a +b =-2
3a = 9

a =3

Subtitusikan a = 3 dalam 2a + b = 7
2(3) + b = 7
6 + b = 7
b = 1
Jadi a + b = 3 + 1 = 4
JAWABAN: E

Contoh No.6
Salah satu faktor dari (2x³ -5x² – px =3)  ialah  (x + 1). Faktor yang lain dari suku banyak tersebut adalah…
a.    (x – 2) dan (x – 3)
b.    (x + 2) dan (2x – 1)
c.    (x + 3) dan (x + 2)
d.    (2x + 1) dan (x – 2)
e.    (2x – 1) dan (x – 3)
PEMBAHASAN:
Yang merupakan faktornya ialah x + 1 –> x = -1

Maka, f(x) = 
= (x + 1)(2×2 – 7x + 3)
= (x + 1)(2x – 1)(x – 3)
Jadi, faktor yang lainnya adalah (2x – 1) dan (x – 3)
JAWABAN: E
Contoh No.7
Ada Duapolinomial  ÷  x + 1 akan mempunyai sisa sama, maka nilai 2m + 5 = …
a.    17
b.    18
c.    24
d.    27
e.    30
PEMBAHASAN:
Misalkan f(x) = 
Apabila ÷(x + 1 ) –>  x = -1 akan memiliki sisa sama,maka:
f(-1) = g(-1)

-1 -4 – 5 + m = 1 – 3 – 2
-10 + m = -4
m = -4 + 10
m = 6
Maka nilai 2m + 5 = 2(6) + 5 = 17
JAWABAN: A
Contoh No.8
Pada f(x) ÷ (x – 1) sisa 3, sedangkan ÷ (x – 2) sisa4. Jika dibagi dengan maka sisanya ialah…
a.    –x – 2
b.    x + 2
c.    x – 2
d.    2x + 1
e.    4x – 1
PEMBAHASAN:

Misalkan sisanya = ax + b, maka
 = (x – 2)(x – 1)
Maka sisanya adalah:
f(1) = 3
a + b = 3 … (i)
f(2) = 4
2a + b = 4 … (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):
2a + b =4
a +b = 3
a =1
Dalam Subtitusi a = 1 pada a + b = 3
1 + b = 3
b = 2
Maka sisanya ialah: ax + b = x + 2
JAWABAN: B
Contoh No.9
Banyaknya akar-akar real dari  adalah …
a.    2
b.    3
c.    4
d.    5
e.    6
PEMBAHASAN:

x4 -3×3 -3×2 +7x +6 =0

(1 +)(x3 -4×2 +x +6) =0

(x +1)(x+1- x2 – 5x +6) + 0


Sehingga banyak akar- akarnya ada 3
JAWABAN: B
Contoh No.10
Jika polinomia : x3 -4x + px +6 dan z2 +3x -2 dibagi (x + 1) mempunyai sisa yang sama maka nilai p adalah …
a.    7
b.    5
c.    3
d.    -5
e.    -7
PEMBAHASAN:
Misalkan f(x) = x3 -4×2 + px +6 dan x2 +3x -2
Dibagi (x + 1) maka x = -1
f(-1) = g(-1)


JAWABAN: B
Contoh No.11
Polinomia x2 +ax3 + 2×2 +bx +5jika dibagi (x – 2) tersisa 7, sedangkan suku banyak tersebut dibagi (x + 3) akan memberikan sisa 182. Nilai dari: a2 -4ab +4b2= …
a.    1
b.    4
c.    9
d.    16
e.    25
PEMBAHASAN:
–    Dibagi (x – 2) sisa 7, maka:
f(2) = 7

16 + 8a + 8 + 2b + 5 = 7
8a + 2b = -22
4a + b = -11 … (i)
–    Dibagi (x + 3) sisanya 182
f(-3) = 182

81 – 27a + 18 – 3b + 5 = 7
-27a – 3b = 78
9a + b = -26 … (ii)
Eliminasikan (i) dan (ii):
9a + b =-26
4a +b = -11
5a = -15
a = -3

Nilai dari : a2 – 4ab + 4b2 = (-3)2 -4(-3)(1)2 =9 +4 =25

JAWABAN: E

Demikianlah materi pembahasan mengenai contoh soal polinomia kali ini, semoga artikel ini dapat bermanfaat serta dapat menambah ilmu pengetahuan kita semua.
Baca Juga :  Materi Persamaan Lingkaran Beserta Rumus dan Contoh Soal