Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Posted on

SPLTV – Setelah sebelumnya ContohSoal.co.id telah membahas materi tentang Contoh Soal Program Linear. Maka dipertemuan kali ini ContohSoal.co.id akan menerangkan secara lengkap mengenai materi SPLTV beserta pengertian, soal cerita, matriks, rumus dan contoh soal. Untuk lebih jelsasnya simak ulasan yang sudah ContohSoal.co.id rangkum dibawah ini.

Pengertian SPLTV

Spltv

SPLTV (Sistem persamaan linear tiga variabel) ialah merupakan suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang juga masing – masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z).

SPLTV juga bisa diartikan sebagai sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan persamaan linear satu variabel dan persamaan linear dua variabel.

Definisi Dan Bentuk Umum

SPLTV juga ialah merupakan suatu bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dalam x, y, dan z dapat dituliskan berikut ini :

ax+by+cz=d                                  a1x + b1y + c1z = d1

ex+fy+gz=h             atau              a2x + b2y + c2z = d 2
ix + jy + kz = l                                     a3x + b3y + c3z = d3

Dengan ⇒ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 = ialah merupakan bilangan real.

Keterangan :

  • a, e, I, a1, a2, a3 = ialah koefisien dari x.
  • b, f, j, b1, b2, b3 = ialah koefisien dari y.
  • c, g, k, c1, c2, c3 = ialah koefisien dari z.
  • d, h, i, d1, d2, d3 = ialah konstanta.
  • x, y, z = ialah variabel atau peubah.

Menyelesaikan SPLTV Dengan Matriks

Agar dapat menyelesaikan spl maka dapat menggunakan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

Dengan hanya menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Maka mari kita, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan matriks.

Dengan telah diketahui tiga persamaan linear dan tiga variabel (x, y, dan z) seperti terlihat pada persamaan di bawah.

  • ax+by+cz=d
  • px+qy+rz=s
  • kx+ly+mz=n

Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut.

  • (a b c)(x)=d
  • (p q r)(y)=s
  • (k l m)(z)=n

Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. mari simak determinan pada daftar di bawah.

Baca Juga :  Contoh Soal Logaritma dan Persamaannya

Determinan utama

|a b c|

D=     |p q r|

|k l m|

Determinan variabel x

|d b c|

D x = |s q l|

|n l m|

Determinan variabel y

|a d c|

D y= |p s r|

|k n m|

Determinan variabel z

|a b d|

D z=  |p q s|

|k l n|

Untuk mengetahui sel;anjutnya, mengenai niali dari masing-masing variabel x, y, dan z dapat mengunakan rumus berikut.

Rumusx = D x/D

y= D y/D

z= D z/D

Ciri – Ciri SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) juga mempunyai beberapa ciri yakni sebagai berikut :

  • SPLTV, Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
  • SPLTV, Memiliki tiga variabel
  • SPLTV, Dari ketiga variabel tersebut berpangkat satu

Hal Yang Berhubungan SPLTV

Terdapat empat komponen dan unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), yakni:

Suku

Suku merupakan bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Dari tiap-tiap suku akan dipisahkan dengan tanda baca penjumlahannya ataupun pengurangannya.

Contoh :

  • 6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku – suku dari persamaan tersebut yakni = 6x , -y, 4z dan 7.

Variabel

Variabel merupakan peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dapat dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.

Contoh :

Doni memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya ialah:

  • Contoh: apel=x ,mangga=y.dan jeruk=z,sehingga persamannya yakni=2x+5y+6z.

Koefisien

Koefisien merupakan suatu bilangan yang bisa menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien dapat juga disebut dengan bilangan yang ada di depan variabel, sebab penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh :

Risti mempunyai 2 buah apel, 5 dan mangga dan 6 buah jeruk. Apabila ditulis dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :

  • Contoh: Nangka= x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yakni= 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 ialah koefisien x , 5 ialah koefisien y dan 6 ialah koefisien z.

Konstanta

Konstanta merupakan suatu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel dan peubahnya.

Contoh :

  • 2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta yakni= 7, sebab 7 nilainya ialah tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

Contoh Soal Cerita SPLTV

Contoh Soal 1

Fira, Devy, dan Selly pergi bersama-sama ke toko buah. Fira membeli 2 kg apel, 2 jeruk dan  1 kg pir dengan harga Rp.67.000,00. Devy membeli 3 kg apel, 1 kg jeruk, dan 1 kg pir dengan harga Rp.61.000,00.
Dan selly membeli  1 kg apel, 3 kg jeruk, dan 2 kg pir dengan harga Rp.80.000,00. Maka tentukanlah 1 kg apel, 1 kg jeruk, dan 4 kg pir.
Pembahasan :
misalkan:
Apel  = x
Jeruk = y
Pir = z
Sistem persamaan linear :
1) 2x + 2y + z = 67.000
2) 3x + y + z = 61.000
3) X + 3y + 2z = 80.000
Ditanya :x+y+4z= …?
Persamaan 1 dan 2
2x + 2y + z = 67.000
3x +  y  + z = 61.000 –
-x + y          = 6.000 (persamaan 4)
Persamaan 2 dan 3
3x + y  + z   = 61.000|x2| 6x + 2y + 2z = 122.000
X  + 3y + 2z = 80.000|x1|   x + 3y + 2z = 80.000  –
          5x – y          =  42.000 (persamaan 5)
Persamaan 4 dan 5
5x – y =  42.000
-x + y  =    6.000 +
      4x = 48.000
        x = 12.000
jika –x + y = 6.000
= – 12.000 + y = 6.000
                      Y = 6.000 + 12.000
   = 18.000
Jika 2x + 2y + z = 67.000
= 2 . (12.000) + 2 . (18.000) + z = 67.000
   24.000 + 32.000 + z = 67.000
   z = 67.000 – 24.000 – 32.000
z = 7.000
jadi untuk x + y + 4z ialah
= 12.000 + 18.000 + 4 . (7.000)
= Rp.58.000,00
Contoh Soal.2
Pada sebuah toko buku kia membeli  4 buku, 2 pulpen, 3 pensil dengan harga Rp. 26.000,00. Dina membeli 3 buku, 3 pulpen, 1 pensil dengan harga Rp.21.000,00. Dika membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp.12.000,00. Jika didin membeli  2 pulpen dan 3 pensil , maka tentukan biaya yang dikeluarkan oleh didin.
Pembahasan :
misalkan:
Buku  = x
Pulpen  = y
Pensil  = z
Sistem persamaan linear :
1) 4x + 2y + 3z = 26.000
2) 3x + 3y + z = 21.000
3) 3x + z = 12.000
Ditanya : 2y + 3z = …?
Persamaan 2 dan 3
3x+3y+z = 26.000
3x + z     = 12.000 –
3y          = 3.000 (persamaan 4)
Persamaan 1 dan 2
4x + 6.000  + 3z   = 26.000| 4x + 3z = 20.000 |x3| 12x + 9z = 60.000
3x  + 9.000 +  z = 21.000   | 3x + z = 12.000   |x4|12x  + 4z = 48.000
                                                                5z =  12.000 (persamaan 5)
        Z = 2.400
jadi untuk 2y + 3z ialah
= 2 . (3.000) + 3 . (2.400)
= 6.000 + 7.200
= Rp.13.200,00

Contoh Soal SPLTV dan Pembahasan

Dari persamaan berikut ini tentukanlah himpunan penyelesaian x, y dan z.

3x –   y + 2z = 15   ……..(i)

2x +  y +   z = 13  ……..(ii)

3x + 2y +  2z = 24   …….(iii)

Penyelesaian:

Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x – y + 2z = 15   | X 1  →   3x  – y + 2z =  15

2x + y +  z = 13   | X 2  →   4x + 2y + 2z = 26

                            ____________________ –

                                          -x – 3y = -11  ……….(iv)

2x +   y +  z  = 13  | X 2  →  4x + 2y + 2z = 26

3x + 2y + 2z = 24  | X 1 →   3x + 2y + 2z = 24

                            ________________________ –

                                                          x = 2…….(v)

Sebeab (v) Maka didapatkan nilai x, kemudian dapat menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)

  -x – 3y = -11

  -(2) – 3y = -11

          3y  = -11 + 2

         3y  = 9

           y  = 3

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Maka subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x +  y +   z = 13

2(2) + 3 + z  = 13

    4 + 3 + z  = 13

          7 + z  = 13

                 z  = 13 – 7

                 z  = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut ialah{2; 3; 6}

 

Demikianlah materi pembahasan kali ini, semoga artikel ini memberi manfaat bagi sebat semua.

Artikel Lainnya:

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
5 (100%) 1 vote[s]

Artikel Terkait: